Odejmowanie

Odejmowanie

Odejmowanie jest podstawowym działaniem arytmetycznym, odwrotnym do dodawania. W procesie tym wyróżniamy dwa elementy: odjemną (liczbę, od której odejmujemy) oraz odjemnik (liczbę, którą odejmujemy). Wynik odejmowania nazywamy różnicą. Odejmowanie oznaczane jest znakiem minusa (-).

Definicje i wzory

Odejmowanie można zdefiniować dla różnych rodzajów liczb:

• **Liczby całkowite**: $(a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c)$
• **Liczby wymierne**: $\backslash frac\{a\}\{b\}-\backslash frac\{c\}\{d\}=\backslash frac\{ad-bc\}\{bd\}$
• **Liczby rzeczywiste**: Jeśli $a\_n$ zbiega do $A$, a $b\_n$ do $B$, to $c\_n=a\_n-b\_n$ zbiega do $C=A-B$.
• **Liczby zespolone**: $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$
• **Kwaterniony**: $(a+bi+cj+dk)-(p+qi+rj+sk)=(a-p)+(b-q)i+(c-r)j+(d-s)k$

Własności odejmowania

Odejmowanie nie jest łączne ani przemienne. Kolejność działań ma znaczenie:

• $(4-3)-2=\; -1,$ ale $4-(3-2)=3.$
• $10-4=6,$ ale $4-10=-6.$

Różnica funkcji

Dla funkcji $f,g\backslash colon\; X\backslash to\; Y$ różnicę definiuje się jako $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$ dla każdego $x\backslash in\; X$. Przykłady zastosowania obejmują:

• Odejmowanie macierzy jako odejmowanie ich elementów.
• Odejmowanie ciągów jako różnicę ich wartości.
• Odejmowanie wielomianów poprzez odejmowanie współczynników.

Odejmowanie modulo

W pierścieniu $Z\_n$ odejmowanie modulo polega na obliczaniu reszty z dzielenia różnicy przez $n$. Na przykład w $Z\_5$:

• $0-1\backslash equiv\; 4\backslash \; \backslash pmod\; 5$
• $4-1\backslash equiv\; 3\backslash \; \backslash pmod\; 5$
• $4-4\backslash equiv\; 0\backslash \; \backslash pmod\; 5$

Odejmowanie wektorów

Odejmowanie wektorów polega na odejmowaniu ich współrzędnych lub dodawaniu wektora o przeciwnym zwrocie. Dla punktu $a$ i wektora $b$, różnica $a-b$ oznacza translację punktu $a$ o wektor $-b$.

Odejmowanie w strukturach algebraicznych

Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania. W grupach addytywnych zawsze możemy znaleźć element przeciwny, co nie jest możliwe w półgrupach, takich jak zbiory liczb naturalnych. Odejmowanie nie jest ani łączne, ani przemienne, ale jest rozdzielne względem mnożenia. Równości i kongruencje można odejmować stronami.