Izometria

Izometria

Izometria (gr. isos – równy, métron – miara) to funkcja, która zachowuje odległości między punktami w przestrzeni metrycznej. W geometrii figury, które są izometryczne, nazywa się przystającymi.

Geometria euklidesowa

Izometria w przestrzeni euklidesowej zachowuje odległości dwóch punktów, co można zapisać jako:

$A^*\; B^*\; =\; AB,$

gdzie $X^*\; =\; f(X)$. Przystające odcinki mają równą długość, a przystające kąty mają tę samą miarę. Izometrie zachowują również współliniowość punktów oraz ich kolejność. Ważnymi niezmiennikami izometrii są pole i objętość figury geometrycznej.

Parzystość izometrii

Parzystość izometrii odnosi się do orientacji w przestrzeni. W przestrzeni euklidesowej wyróżnia się dwa typy orientacji: dodatnią, zgodną z kanoniczną bazą, i ujemną. Izometrie mogą być klasyfikowane jako:

• parzyste – nie zmieniają orientacji (np. złożenie parzystej liczby symetrii osiowych),
• nieparzyste – zmieniają orientację (np. złożenie nieparzystej liczby symetrii osiowych).

Klasyfikacja izometrii

Na różnych przestrzeniach wyróżnia się różne rodzaje izometrii:

• Na prostej:
  • Parzyste: tożsamość, przesunięcie (translacja).
  • Nieparzyste: symetria środkowa.
• Na płaszczyźnie:
  • Parzyste: tożsamość, przesunięcie, symetria środkowa, obrót.
  • Nieparzyste: symetria osiowa, symetria z poślizgiem.
• W przestrzeni trójwymiarowej:
  • Parzyste: tożsamość, przesunięcie, symetria osiowa, obrót.
  • Nieparzyste: symetria płaszczyznowa, symetria środkowa.

Izometrie przestrzeni metrycznych

Izometria między przestrzeniami metrycznymi $(X,\; d\_X)$ i $(Y,\; d\_Y)$ zachowuje odległości, co można zapisać jako:

$d\_Y(f(a),\; f(b))\; =\; d\_X(a,\; b).$

Izometrie są iniektywne i ciągłe, a zbiór izometrii tworzy grupę izometrii.

Izometrie liniowe

Izometria liniowa to przekształcenie liniowe, które zachowuje normę:

$\backslash |f(v)\backslash |\; =\; \backslash |v\backslash |.$

Izometrie liniowe są globalne, gdy są suriekcjami.

Uogólnienia

• ε-izometria: zachowuje odległości w granicach $\epsilon$.
• quasi-izometria: inna forma uogólnienia izometrii.

Twierdzenie Beckmana-Quarlesa

Twierdzenie to stwierdza, że każde przekształcenie przestrzeni euklidesowej o wymiarze co najmniej dwa, które zachowuje odległość jednostkową, musi być izometrią.