Jednostka urojona

Jednostka Urojona

Jednostka urojona, oznaczana jako $i$, to liczba zespolona, której kwadrat wynosi $-1$. Wprowadzenie symbolu $i$ przypisuje się Leonhardowi Eulerowi, a Carl Friedrich Gauss popularyzował go od 1801 roku. W inżynierii oznaczenie to często zamienia się na $j$, aby uniknąć pomyłki z natężeniem prądu, które oznaczane jest literą $i$.

Równanie $x^2\; =\; -1$ ma dwa pierwiastki, które są wzajemnie przeciwne. Cykliczne potęgi liczby $i$ przyjmują wartości:

• $i^n\; =\; 1n\; =\; 4k$
• $i^n\; =\; in\; =\; 4k\; +\; 1$
• $i^n\; =\; -1n\; =\; 4k\; +\; 2$
• $i^n\; =\; -in\; =\; 4k\; +\; 3$

Interpretacje

Algebra Abstrakcyjna

Ciało liczb rzeczywistych $\backslash mathbb\; R$ nie jest algebraicznie domknięte, co oznacza, że istnieją wielomiany, które nie mają rzeczywistych rozwiązań. Dodanie jednostki urojonej $i$ do $\backslash mathbb\; R$ tworzy liczby zespolone, które są ciałem algebraicznie domkniętym. Liczby zespolone mają postać $a\; +\; bi$, gdzie $a,\; b\; \backslash in\; \backslash mathbb\; R$.

Operacje arytmetyczne na liczbach zespolonych są zdefiniowane jako:

• Dodawanie: $(a\; +\; bi)\; +\; (c\; +\; di)\; =\; (a\; +\; c)\; +\; (b\; +\; d)i$
• Mnożenie: $(a\; +\; bi)(c\; +\; di)\; =\; (ac\; –\; bd)\; +\; (ad\; +\; bc)i$

Układ Współrzędnych

Diagram Arganda, zaproponowany przez Caspara Wessela, przedstawia liczby zespolone w układzie współrzędnych kartezjańskich. Liczba zespolona $z\; =\; a\; +\; bi$ odpowiada punktowi o współrzędnych $(a,\; b)$, a jednostka urojona $i$ jest reprezentowana jako punkt $(0,\; 1)$.

Przestrzenie Unitarne i Euklidesowe

W przestrzeniach unitarnej i euklidesowej, jednostka urojona $\backslash mathbf\; i\; =\; [0,\; 1]$ jest prostopadła do jednostki rzeczywistej $\backslash mathbf\; 1\; =\; [1,\; 0]$, co tworzy ortonormalną bazę.

Algebra Clifforda

W kontekście algebry Clifforda, struktura ciała liczb zespolonych jest z nią izomorficzna, a wektor $\backslash mathbf\; e$ odpowiada jednostce urojonej.

Uogólnienia

Konstrukcja ciała liczb zespolonych może być rozszerzana na inne struktury, takie jak kwaterniony, gdzie działania dodawania i mnożenia są zdefiniowane na parach uporządkowanych liczb zespolonych.