Liczby algebraiczne

Liczby algebraiczne

Liczby algebraiczne to liczby rzeczywiste lub zespolone, które są pierwiastkami pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych. Dla każdej liczby algebraicznej $\backslash alpha$ istnieje wielomian nierozkładalny nad $\backslash mathbb\; Q$, którego pierwiastkiem jest $\backslash alpha$. Stopień tego wielomianu określa stopień liczby $\backslash alpha$.

Zbiór liczb algebraicznych tworzy ciało. W 1882 roku Ferdinand Lindemann udowodnił, że liczba π jest liczbą przestępną, co oznacza, że nie jest algebraiczna. W konsekwencji wykazał, że kwadratura koła jest niemożliwa.

Przykłady liczb algebraicznych

• Każda liczba wymierna $\backslash tfrac\{p\}\{q\}$ jest liczbą algebraiczną stopnia 1, ponieważ jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego $qx-p$.
• Liczba $\backslash sqrt\{2\}$ jest liczbą algebraiczną stopnia 2, będąc pierwiastkiem wielomianu $x^2-2$.