Dzisiaj jest 12 grudnia 2024 r.
Chcę dodać własny artykuł

Wzór Taylora

Wzór Taylora

Wzór Taylora umożliwia przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej jako sumy wielomianu n-tego stopnia oraz reszty. Został nazwany na cześć angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował na ten temat pracę w 1715 roku. Jego koncepcja była jednak znana już wcześniej, dzięki Jamesowi Gregory’emu.

Twierdzenie Taylora

Niech f będzie funkcją różniczkowalną (n+1)-razy w sposób ciągły na przedziale [a,b]. Wówczas dla punktu x z przedziału (a,b) zachodzi wzór Taylora:

\begin{align} f(x) &= f(a) + \frac{x-a}{1!} f^{(1)}(a) + \ldots + \frac{(x-a)^n}{n!} f^{(n)}(a) + R_n(x,a), \end{align}
gdzie R_n(x,a) jest resztą Peana i spełnia warunek \lim_{x\to a}\frac{R_n(x,a)}{\|x-a\|^n}=0.

Reszty we wzorze Taylora

Resztę we wzorze Taylora można wyrazić na kilka sposobów:

  • Reszta w postaci całkowej: R_n(x,a) = \int\limits_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt.
  • Reszta w postaci Lagrange’a: R_n(x,a) = \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a+\theta(x-a)).
  • Reszta w postaci Cauchy’ego: R_n(x,a) = \frac{(x-a)^{n+1}}{n!}(1-\theta)^n f^{(n+1)}(a+\theta(x-a)).
  • Reszta w postaci Schlömilcha-Roche’a: R_n(x,a) = \frac{(x-a)^p(x-\xi)^{n+1-p}}{pn!}f^{(n+1)}(\xi).

Szacowanie reszty

Dla funkcji f\colon [a,b]\to Y różniczkowalnej (n+1)-razy, jeśli istnieje M\geqslant 0, dla którego \|f^{(n+1)}(x)\|\leqslant M, to możemy oszacować resztę:

\|R_n(x,a)\|\leqslant \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}.

Szereg Taylora

Jeśli funkcja f\colon D\to Y ma pochodne dowolnego rzędu w punkcie x_0\in D, można rozważać szereg Taylora:

\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.

Funkcja jest analityczna w punkcie x_0, jeśli szereg ten zbiega do f(x) w okolicy x_0.

Przykłady rozwinięć w szereg Maclaurina

  • Pierwiastek kwadratowy: \sqrt{x+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2 4^n}x^n,\; |x|<1.
  • Funkcja wykładnicza: e^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!}.
  • Funkcje trygonometryczne: \sin x = \sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}.

Geneza wzoru Taylora

Aby uzyskać wzór Taylora, porównuje się wartości funkcji i jej pochodnych w punkcie a. Wymaga to co najmniej (n+1) warunków, co prowadzi do układu równań, z którego oblicza się współczynniki wielomianu.

Przykład zastosowania

Obliczając \sqrt{10} wykorzystujemy znane wartości pochodnych funkcji f(x) = \sqrt{x} w punkcie x = 9.

\sqrt{10} \approx 3 + \frac{1}{6} – \frac{1}{216} + \frac{1}{3888} \approx 3.162.

Najnowsze aktualności: