Otoczenie w matematyce
Otoczenie to pojęcie matematyczne, które odnosi się do zbioru zawierającego dany punkt lub ustalony zbiór. W analizie i topologii często wymaga się, aby otoczenie było zbiorem otwartym. Dla punktu otoczenie definiuje się jako różnicę zbiorów i granice funkcji w danym punkcie.
Otoczenia i sąsiedztwa liczb rzeczywistych
Na osi rzeczywistej otoczenie punktu definiuje się jako przedział otwarty. Wyróżniamy różne rodzaje otoczeń:
- Otoczenie w sensie wąskimx_0 o mniej niż ustalona wartość (promień otoczenia).
- Sąsiedztwo: różnica odpowiedniego przedziału i punktu .
- Sąsiedztwo lewostronne: przedział otwarty z prawym końcem jako punkt .
- Sąsiedztwo prawostronne: przedział otwarty z lewym końcem jako punkt .
Te pojęcia są wykorzystywane do definiowania granic jednostronnych funkcji w danym punkcie.
Otoczenia zbioru
Otoczeniem zbioru w zbiorze jest zbiór otwarty, który zawiera . Oznacza to, że suma otoczeń wszystkich punktów zbioru jest jego otoczeniem.
System otoczeń a topologia
Jeżeli dla każdego punktu w zbiorze istnieje rodzina podzbiorów , które spełniają określone warunki, można zdefiniować topologię w zbiorze . Zbiór otwarty to taki, który zawiera otoczenia każdego swojego punktu.
Otoczenie jako pojęcie pierwotne aksjomatyki
Otoczenie jest kluczowym pojęciem w aksjomatyce przestrzeni topologicznych. Przestrzeń topologiczną definiuje się jako parę , gdzie to zbiór otoczeń spełniających określone aksjomaty:
- Każde otoczenie zawiera dany punkt oraz zbiór .
- Każdy zbiór zawierający otoczenie także jest otoczeniem.
- Przecięcie dowolnej pary otoczeń jest również otoczeniem.
- W każdym otoczeniu znajduje się takie otoczenie, które jest otoczeniem każdego swojego punktu.
